∇ nabla – matematika

Matematika – obsah > Státní maturita 2012 > Základní úroveň obtížnosti — řešení

Základní úroveň — řešení

Úloha číslo 1

Zadání

Řešení

Písmenkem N značíme přirozená čísla (kladná celá čísla → 1, 2, 3, 4, 5, …).

Podmínku, že n se nesmí rovnat nule psát nemusíme, jelikož n je podle zadání z oboru přirozených čísel.

Úloha číslo 2

Zadání

Řešení

Úloha číslo 3

Zadání

Řešení

Úlohy číslo 4, 5, 6

Zadání

Řešení

Z rekurentního zadání aritmetické posloupnosti si nejprve vypočítáme diferenci, což je rozdíl
mezi dvěma po sobě jdoucími členy posloupnosti – u aritmetické posloupnosti je stále stejný.

Nyní dosadíme do vzorce pro výpočet ntého členu posloupnosti.

Zadání

Řešení

Použijeme vzorec pro výpočet součtu prvních n členů posloupnosti.

Zadání

Řešení

První člen je 57 (je dělitelný 3). Diference je −3 (následující člen bude vždy o tři menší).
Nějaký člen tedy bude rovný 0. Další členy pak −3; −6 atd. Nás však zajímá, kolikátý je ten nulový člen,
protože pak už se součet nezvyšuje, ale snižuje.
Pokud je první člen 57 a diference je −3, je vidět, že 0 je dvacátý člen.
Dosadíme ale ještě do vzorce pro výpočet ntého členu posloupnosti.

Jelikož je dvacátý člen roven 0, součet neovlivní. Stejný výsledek součtu tedy dostanu,
i když sečtu 19 členů. Správná odpověď je tedy také 19.

Úloha číslo 7

Zadání

Řešení
7.1

Dosadíme souřadnice do předpisu funkce.

7.2

Opět dosadíme do předpisu funkce.

Úlohy číslo 8, 9

Zadání

Řešení

Zadání této úlohy jsem příliš nepochopil, protože výsledek je již řečený ve výchozím textu.
Jestliže je vzdálenost rovnoběžek 5, je i vzdálenost bodu P (leží na přímce p) od přímky q 5
(vizte obrázek).

Zadání

Řešení

Vzdálenost bodů P, Q vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku, jehož přeponou je právě hledaná vzdálenost.

Úloha číslo 10

Zadání

Řešení

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °, což je v radiánech π…

Úloha číslo 11

Zadání

Řešení

Podle zadání

Kolmá přímka k přímce q je

Dosazením souřadnic dostaneme obecný tvar přímky p.

Úloha číslo 12

Zadání

Řešení

Úloha číslo 13

Zadání

Řešení

Úloha číslo 14

Zadání

Řešení

Po odebrání 7 karet z balíčku o 52 kartách nám zbyde 45 karet.
Z nich je 9 srdcových a 36 „nesrdcových“.
Pokud nyní budu táhnout jednu kartu, pravděpodobnost, že nevytáhnu srdcovou je:

Pokud budu tahat 7 karet, pravděpodobnost nevytažení srdcové karty je:

Úloha číslo 15

Zadání

Řešení

Úloha číslo 16

Zadání

Řešení

16.1

Z obrázku je vidět, že strany y a z by mohly být stejně dlouhé. Ověříme si to.

Pomocí vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů si vypočítáme |XZ| = y a |XY| = z.

Vidíme, že strany y a z jsou stejně dlohuhé. Strana x je viditelně delší.
Jedná se tedy o rovnoramenný trojúhelník.
Odpověď je tak ANO.

16.2

Úhly při vrcholech Y a Z jsou, jak vidno, ostré. Ověříme tedy úhel u vrcholu X.

Skalární součin vektorů je roven nule → vektory jsou navzájem kolmé → úhel při vrcholu X je 90 ° →
→ trojúhelník není ostroúhlý → správná odpověď je NE

16.3

Jelikož trojúhelník je rovnoramenný, tak pata výšky spuštěné z bodu X je přesně uprostřed strany x.
Správná odpověď je tedy ANO.

16.4

Protože trojúhelník je rovnoramenný, výška spuštěná z bodu Z je vlastně stranou y.
Její pata tak není středem strany z.
Správná odpověď je NE.

Úloha číslo 17

Zadání

Řešení

Největší úhel je u vrcholu B, proti straně b (nejdelší strana).
Kosinus tohoto úhlu vypočítáme z kosinové věty.

Úloha číslo 18

Zadání

Řešení

Jedná se o příklad na geometrickou posloupnost.

Meziroční přírůstek je:

Úloha číslo 19

Zadání

Řešení

Celkový počet členů gangu je:

Poměr šéfů ku řadovým členům je:

Zisk je mezi obě skupiny rozdělen 50 % ku 50 % (1 ku 1). Můžeme tedy psát:

Správná odpověď je D) 39krát.

Úloha číslo 20

Zadání

Řešení

Pokud se průměrný plat 10 pracovníků zvedl o 240 Kč, tak celková přidaná částka byla 2400 Kč.
Tato částka byla rovnoměrně rozdělena mezi 4 pracovníky. Každý tedy dostal 600 Kč.
Správná odpověď je tedy E) o jinou částku.

Úloha číslo 21

Zadání

Řešení

Pokud se na obrázky dobře podíváme, zjistíme, že poměr objemů je pro libovolný počet míčků stále stejný.
Jeden míček vždy odpovídá určité části válce; a těch částí je tam vždy stejný počet jako míčků.
Proto je poměr objemů stálý pro libovolný počet míčků.
Stačí tedy spočítat poměr objemu 1 míčku ku válci, ve kterém by byl uzavřen, a máme odpověď.

Správná odpověď je A) v libovolné plechovce.

Úloha číslo 22

Zadání

Řešení

Čísla náleží do intervalu <−4; 3>
Správná odpověď je tedy C.

Úloha číslo 23

Zadání

Řešení

Tato rovnost platí pro všechna x, pro která je logaritmus definovaný.
Podíváme-li se na graf logaritmu,

vidíme, že je definován na intervalu (0; ∞).
Správná odpověď je D) (0; +∞).

Úloha číslo 24

Zadání

Řešení

Hledaným vektorem by mohl být vektor a. Vyzkoušíme.

A je to tak :-)
Správnou odpovědí tedy je A) a.

Úloha číslo 25

Zadání

Řešení

Pomocí základních znalostí o funkcích víme, že:

Úloha číslo 26

Zadání

Řešení

Zadání: © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012

Vytisknout stránku »