Matematika – obsah > Státní maturita 2012 > Základní úroveň obtížnosti (ilustrační test) — řešení
Připojte se k facebookové stránce Maturita z matematiky.
Dosadíme 5 za n a dostaneme interval <−3; 2>
Body (kolečka) jsou plné, protože −3 a 2 do intervalu patří.
Přirozená čísla jsou celá a kladná.
U této úlohy není těžké uhodnout, že se jedná o číslo 3.
Dostaneme tak interval <−1; 0>
Body (kolečka) jsou plné, protože −1 a 0 do intervalu patří.
Neznámé číslo jsme si označili ω. Podle zadání platí:
Aby výraz měl smysl, nesmí se jmenovatel rovnat 0.
Obecná rovnice přímky má tvar ax + by + c = 0.
Podle zadaného normálového vektoru a = 1 a b = 2, tedy
x + 2y + c = 0.
C určíme tak, že do rovnice dosadíme souřadnice bodu A.
−2 + 2 ∙ (−1) + c = 0
c = 4
Rovnice přímky tedy je
p: x + 2y + 4 = 0
Víme, že přímka prochází bodem A.
Potřebujeme najít alespoň ještě jeden bod, kterým prochází.
Za y dosadíme třeba nulu a vypočítáme x, které v tomto případě má hodnotu −4.
Další bod, kterým přímka prochází má souřadnice [−4; 0].
Při řešení vyjdeme z faktu, že logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů čitatele a jmenovatele.
Medián je hodnota, která je uprostřed. Jelikož z testu A není žádná čtyřka,
jsou pouze tři druhy známek → 1, 2, 3. Uprotřed je dvojka. Medián je tedy roven 2.
Modus je nejčastěji se vyskytující hodnota. Nejvíc je trojek, proto je modus roven 3.
Aritmetický průměr určíme tak, že sečteme všechny známky a tento součet vydělíme počtem známek.
Dosazovali jsme hodnoty z testu A. Z testu B vyjde stejný aritmetický průměr.
Označíme-li počet jedniček písmenem r a počet dvojek písmenem s, platí:
Je to rovnice o dvou neznámých. Abychom zjistili počet jedniček (r),
musíme přidat ještě jednu rovnici.
Celkový počet studentů je 20, známek z testu musí být tedy taky 20.
Z testu B je 9 trojek, 2 čtyřky. Zbývá ještě 9 známek.
Můžeme napsat:
Tím jsme dostali druhou rovnici. Soustavu vyřešíme.
Číslo 5 představuje tzv. diferenci. Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost.
Druhý člen je podle zadání roven 7. Jedenáctkrát větší člen má pak hodnotu 77.
Dosazením této hodnoty do vztahu ze zadání a následným vyjádřením n,
získáme o kolikátý člen se jedná.
Trochu nemotorně můžeme pořadí členu vypočítat ze vzorce pro ntý člen aritmetické posloupnosti.
ANO, NE, NE, ANO.
Na obrázku vidíme, že dva nejmenší úhly jsou alfa a beta.
Jejich velikost vypočítáme pomocí kosinové věty.
Výraz nebude mít smysl, pokud se jmenovatel bude rovnat nule.
Položíme tedy jmenovatele rovného nule a pokusíme se najít taková x, pro která bude tato rovnice platit.
Podíváme-li se na jmenovatele pozorněji, vidíme, že tento výraz nebude nule nikdy roven.
Lehce se o tom přesvědčíme, když vypočítáme diskriminant.
Diskriminant vyšel záporný. Rovnice tedy nemá v oboru reálných čísel řešení.
Správná odpověď je tedy E.
Výraz bude záporný, pokud bude čitatel záporný a současně jmenovatel kladný NEBO
čitatel kladný a současně jmenovatel záporný.
Podle této věty sestavíme postup řešení.
Grafické řešení úlohy
Správná odpověď je tedy E.
Výdělek označíme V. Pan Dung si vydělal V a pan Novák o čtvrtinu více, tedy 1,25 V.
Dvacet procent z výdělku panu Dunga je 0,2 V. Tuto částku utratil i pan Novák.
Odečteme ji od jeho výdělku a dostaneme co panu Novákovi zbylo.
Tuto částku vydělíme jedním procentem výdělku pana Nováka a dostaneme kolik procent mu zbylo.
Zbytek do 100 procent je jeho útrata.
Průměrnou denní trasu při poznávacím zájezdu VD1 vypočítáme jako celkovou trasu V dělenou počtem dní zájezdu τ1.
Průměrnou denní trasu při soukromé cestě VD2 vypočítáme jako celkovou trasu V dělenou počtem dní zájezdu τ2.
Dale víme, že VD2 = 0,9VD1 a τ2=τ1+ 2.
Do poslední rovnice z předchozího obrázku dosadíme za VD1 z předposlední rovnice a vyjádříme τ1.
Máme 5 polí a na 3 z nich umísťujeme figurky.
Ty jsou na hlavní diagonále NEBO na vedlejší diagonále ⇒ možnosti sčítáme.
Pokud si uvědomíme, že objem rotačního jehlanu je 1/3P ∙ v,
odebereme z poloviny celého válce vlastně 2/3.
Odebraný objem je tedy 2/3 ∙ 1/2 = 1/3. Zbylý objem celého válce tak je 2/3
Správná odpověď je tedy D.
Povrch klobouku je vlastně povrch pláště rotačního kužele.
S = πrs, kde r je poloměr podstavy a s je délka strany klobouku.
Správná odpověď je D.
Na správné řešení této úlohy stačí pouze trocha prostorové představivosti a uvědomit si,
že hranol má stěny rovnoběžné a jehlan „jde“ do špičky.
Správné odpovědi tedy:
25. 1 B
25. 2 C
25. 3 A
25. 4 D
Jedná se o paraboly.
Rovnice funkcí si nejprve upravíme na základní tvar y = ax2 + bx + c
Pomocí vzorce určíme souřadnice vrcholů parabol a porovnáme s obrázky.
Podle obrázků správné odpovědi jsou:
26. 1 E
26. 2 A
26. 3 B
Zadání: © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012
Vytisknout stránku »