Matematika – obsah > Státní maturita > Vyšší úroveň obtížnosti — řešení
Připojte se k facebookové stránce Maturita z matematiky.
Mezi −K a 2K je 6 dílků – celkem na 3 „Káčka” (od −K do 2K) připadá 6 dílků,
na 1 „Káčko” tak dílky 2. Nula tedy je 2 dílky vpravo od −K.
Mezi 0 a 1 je 7 dílků ⇒ jeden dílek je 1/7 (jedna sedmina).
2K je vzdálen 4 dílky (4/7) od 0.
Využijeme poznatků:
• součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °
• součet velikostí sousedních úhlů na obrázku je 180 °
• protilehlé úhly mají stejnou velikost
• součet vnitřních úhlů různoběžníku je 360 °
Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když jsou jejich normálové vektory lineárně závislé.
Napíšeme si tedy normálové vektory přímek a pak zápis lineární závislosti.
sinx1 = 3/2 nemá řešení, jelikož obor hodnot funkce sinus je v intervalu <-1; 1>.
Dosadíme do předpisu funkce hodnoty z prvního sloupce:
Druhý sloupec:
Třetí sloupec:
Čtvrtý sloupec:
Dosadíme do vzorce pro vážený průměr a vyjádříme neznámou, které udává počet zaměstnanců
ve třetí skupině.
12.1
Postupně dosadíme do rekurentního vztahu.
12.2
Napíšeme ještě další dva členy
Nyní lze uhodnout zápis ntého členu.
Jedná se o geometrickou posloupnost (součet geometrické řady).
Geometrická posloupnost je konvergentní právě tehdy, když |q| < 1.
12.3
V závorce je součet geometrické řady.
Pro součet geometrické řady platí:
Nejprve si napíšeme všechny možné kombinace tažení.
tmavá — tmavá
tmavá — světlá
světlá — tmavá
světlá — světlá
Pravděpodobnost, že vytáhneme obě písmena na tmavé kartě
je 1/4 = 0,25 = 25 %.
tmavá — tmavá
tmavá — světlá
světlá — tmavá
světlá — světlá
Pravděpodobnost, že vytáhneme právě jednu tmavou kartu
je 1/2 = 0,5 = 50 %.
tmavá — tmavá
tmavá — světlá
světlá — tmavá
světlá — světlá
Pravděpodobnost, že vytáhneme alespoň jednu tmavou kartu
je 3/4 = 0,75 = 75 %.
tmavá — tmavá
tmavá — světlá
světlá — tmavá
světlá — světlá
Doplněním na čtverec převedeme rovnice na středový tvar a tak určíme, o jakou kuželosečku se jedná.
Při doplňování na čtverec nezapomeneme, že „to“ co jsme přidali na levé straně rovnice,
musíme přidat i na pravou stranu rovnice.
14.1
Rovnice elipsy ve středovém tvaru.
14.2
Rovnice kružnice ve středovém tvaru.
Kružnice má nulový poloměr, jedná se tedy o bod.
14.3
V rovnici se vyskytuje jeden kvadratický člen.
Upravíme-li rovnici do tvaru y = f(x), krásně uvidíme, že se jedná o parabolu.
Rovnice paraboly.
Vrchol paraboly můžeme určit podle vzorce
Hodnoty písmenek a, b, c vyplývají z obecného zápisu kvadratické funkce
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Pro naši funkci, kde
a = 1/2; b = 0; c = 4
má vrchol souřadnice
V [0; 4].
Podíváme se ještě na obrázek.
Na zadané úhly aplikujeme takové goniometrické funkce, které budou v zápisu mít
společnou stranu obou pravoúhlých trojúhelníků – přeponu, kterou jsme označili p.
Vyjádřili jsme si p. Tento výraz dosadíme do první rovnice, vyjádříme x a máme výsledek.
Správná odpověď je C.
Pro obsah trojúhelníku platí:
a … strana a
va … výška na stranu a
Oba trojúhelníky mají spolenou stranu KM. Budou tedy mít stejný obsah,
pokud budou mít i stejně dlouhou výšku na tuto stranu.
|AE| = výška trojúhelníku KLM na stranu KM
Prodloužíme ji o stejnou vzdálenost „na druhou stranu“.
|EF| = výška trojúhelníku KMX na stranu KM
Bodem F pak vedeme rovnoběžku se stranou KM.
Kde tato rovnoběžka protne přímku p, tam je vrchol trojúhelníku KMX.
Vidíme, že ji protla v bodě XA (vizte obrázek).
Správná odpověď je tedy A.
Exponent q z intervalu (0; 1) je například 0,5; 0,4; 0,9; ...
Tedy:
Pokud si tyto zápisy napíšeme pomocí odmocnin dostaneme:
Čím vyšší číslo za x dosadíme, tím vyšší hodnotu y dostaneme → funkce je rostoucí.
Můžeme tedy vyškrtnout funkce f1 a f4.
Pokud do zápisu těchto funkcí (těch, u nichž je exponent q z intervalu (0; 1))
dosadíme za x, vyjde nám y vždy menší (menší než x).
U funkce f3 zřejmě dostaneme např. pro x = 2 y > 2.
Zbývá tedy funkce f2, která toto pravidlo splňuje.
Správná odpověď je B.
Správně odpovědět lze v podstatě hned. Stačí si uvědomit, že grafy funkcí,
které mají q z intervalu (0; 1) jsou rostoucí.
Navíc funkce f2 na obrázku je s největší pravděpodobností y = √x
a funkce f3 pak y = x2; stačí si vzpomenout na jejich grafy.
Aby se grafy funkcí protínaly v jednom bodě, musí mít kvadratická rovnice vzniklá
z rovnosti funkcí právě jedno řešení.
My hledáme takové b, kdy kvadratická rovnice, kde je x neznámou, má právě jedno řešení.
Kvadratická rovnice má právě jedno řešení, pokud se její diskriminant rovná nule.
Obecný tvar kvadratické rovnice je
Pro naši rovnici tak platí:
Vypočítáme diskriminant, položíme ho rovný nule a vyjádříme b.
Správná odpověď je tedy B.
Povrch je součet obsahů 4 trojúhelníků – dvou rovnostranných a dvou rovnoramenných.
Celou úlohu jsem pro větší názornost řešil obecně. Pokud bychom dosazovali čísla
ze zadání, došli bychom k výsledku asi rychleji.
Obsah rovnostranného trojúhelníku vypočítáme následovně:
Výšku va1 nemáme zadanou, proto si ji vypočítáme pomocí Pythagorovy věty.
Dosadíme do vzorce pro obsah a dostaneme obsah rovnostranného trojúhelníku.
Obdobně vypočítáme obsah rovnoramenného trojúhelníku.
Nyní vyjádřené obsahy dosadíme do vzorce pro výpočet povrchu S = 2(P1 + P2).
Jelikož a = 1, můžeme výsledek zapsat jako
Správná odpověď je tedy A.
Vytlačený sloupec (válec) vody bude mít stejný objem jako koule.
Ze vzorce pro objem válce vypočítáme poloměr válce.
Stejný poloměr má i největší koule, která se do válce vejde.
Její objem pak vypočítáme dosazením do vzorce pro výpočet objemu koule.
Ze vzorce pro objem válce vypočítáme poloměr válce a tím i poloměr největší koule:
Dosadíme do vzorce pro objem koule a máme výsledek.
Správná odpověď je tedy E.
Nejprve se cena dvakrá zvýšila o 20 %.
Vždy se tedy zvýšila na 120 % předchozí hodnoty.
Původní cena C = 100 % = 1.
Pokud máme cenu zvýšit o 20 % (zvýšit ji na 120 %), násobíme ji 120 % = 1,2.
První zvýšení: 1 ∙ 1,2 = 1,2
Druhé zvýšení: 1,2 ∙ 1,2 = 1,44
Poté se cena snížila o 20 %.
Pokud máme cenu snížit o 20 % (snížit ji na 80 %), násobíme ji 80 % = 0,8.
Snížení: 1,44 ∙ 0,8 = 1,152
Celkové zvýšení: 1,152 − 1 = 0,152 = 15,2 %
Správná odpověď je tedy D.
1. Úrok z celé částky:
1800000 ∙ 0,032 Kč = 57600 Kč
Daň z úroku
je 15 %; zbyde nám tedy 85 % částky, kterou jsme získali na úrocích.
57600 ∙ 0,85 Kč = 48960 Kč
2. Úroky z polovičních částek:
900000 ∙ 0,022 Kč = 19800 Kč
Daň z úroku
je 15 %; zbyde nám tedy 85 % částky, kterou jsme získali na úrocích.
19800 ∙ 0,85 Kč = 16830 Kč
Jelikož vloženou částky jsou dvě, celkový zisk na úrocích je
2 ∙ 16830 Kč = 33660 Kč.
Pokud by se částka rozdělila, rozdíl na úrocích by byl
48960 Kč − 33660 Kč = 15300 Kč.
Správná odpověď je tedy C.
Jednotlivé úlohy budeme řešit početně i graficky.
23.1
U této úlohy je však zbytečné zkoušet něco počítat, jelikož je témě okamžitě vidět, že vztah nebude platit.
Při kreslení této úlohy je si třeba uvědomit, že odčítání vlastně neexistuje. Je to přičítání záporné hodnoty.
Pokud tedy od vektoru u odečítám vektor v, přičítám k vektoru u vlastně vektor −v.
u − v = u + (−v)
Vektor −v dostanu z vektoru v tak, že vektor v překlopím „na druhou stranu“.
Vektory pak sečteme graficky – doplněním na rovnoběžník.
Správná odpověď je tedy NE.
23.2
Tuto úlohu nejdříve vyřešíme početně a pak si výsledek ověříme graficky.
Jelikož se jedná o pravidelný šestiúhelník, tak vektory 2u a 2v svírají úhel 120 °.
Velikost každého vektoru je pak dvojnásobek velikosti strany (a tím zaroveň i poloměru) šestiúhelníku.
Pro velikost výslednice dvou vektorů svírajících libovolný úhel platí:
Odvození tohoto vzorce je v článku Velikost výslednice dvou vektorů.
Dosadíme do vzorce a vypočítáme velikost výslednice.
|2u| = 2a (a je délka strany šestiúhelníku)
|2v| = 2a
φ = 120 ° … úhel, který vektory svírají
Úhel, která svírá výslednice s vektorem 2u vypočítáme pomocí vzorce
Vzorec jde odvodit podle obrázku v článku Velikost výslednice dvou vektorů.
φ = 120 ° … úhel, který vektory svírají
ψ … úhel, který svírá vektor 2u s výslednicí; ten hledáme
Výslednice má velikost 2a svírá s vektorem 2u úhel 60 °.
Vidíme, že vztah je pravdivý (vizte následující obrázek).
Správná odpověď je tedy ANO.
23.3
Pokud se trochu zadíváme, zjistíme, že velikostně nám vyšly 2 výšky v rovnostranném trojúhelníku
(výška v rovnostranném trojúhelníku se spočítá jako a√3/2), což vzdálenosti |BD| odpovídá.
Pro lepší představu se podíváme na obrázek pravidelného šestiúhelníku s vyznačenými rozměry.
Obrázek je převzat z Wikipedie (volné dílo).
Autor: Nils Boßung
Dostali jsme dělení nulou. Nezalekneme se však, protože to ukazuje, že úhel ψ bude nejspíš 90 °,
jelikož pro tuto hodnotu není funkce tangens definována.
Grafické řešení vypadá následovně.
A jelikož si výslednici můžeme přenést (má stále stejnou velikost a směr),
vztah ze zadání platí (vizte obrázek).
Správná odpověď je tedy ANO.
Spoustu učebnic k přípravě na maturitní zkoušku najdete ve spolehlivém eshopu Ucebnicemapy.cz. Například Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy od Petákové je klasika.