∇ nabla – matematika

Matematika – obsah > Státní maturita 2012 > Vyšší úroveň obtížnosti — řešení

Vyšší úroveň — řešení (Vyřešeno 13 úloh.)

Úloha číslo 1

Zadání

Řešení

Číslo 5²⁷ je třetí mocninou. Aby celý součin byl třetí mocninou, musí být součin k ∙ 3 také třetí mocninou.
Za k tedy dosadíme 3² ∙ 2³.
3² → s trojkou z předchozího součinu tak dostaneme 3³, tedy třetí mocninu
2³ → číslo k má být sudé, proto ho vynásobíme třetí mocninou nejmenšího sudého čísla

k = 3² ∙ 2³ = 72

Úloha číslo 2

Zadání

Řešení

Předposlední řádek je jeden ze dvou Viètových vzorců.

Úloha číslo 3

Zadání

Řešení

Na osu vyneseme nulové body a určíme, zda daným intervalům rovnice vyhovuje či nevyhovuje.

Řešením je tedy interval

Úloha číslo 4

Zadání

Řešení

Aby výraz dával smysl, musí splňovat následující podmínky:

„Sjednocením“ těchto podmínek pak dostáváme podmínku

Řešení s ohledem na uvedenou podmínku je následující.

Úloha číslo 5

Zadání

Řešení

Protože

Jelikož platí

Můžeme tedy psát

Úloha číslo 6

Zadání

Řešení

Úloha číslo 7

Zadání

Řešení

Zvolíme si nějaký bod A, který leží na přímce q. Téměř na první pohled je vidět,
že takovým bodem je třeba A [0; 4]. Dosadíme-li do přímky q za x nulu a za y čtyřku, dostaneme jistě 0.
Pro vzdálenost bodu od přímky pak platí:

Úloha číslo 8

Zadání

Řešení

Bod dotyku musí ležet na přímce procházející body S, L. Vyjádříme si tedy rovnici přímky procházející body S, L.

Průsečíky této přímky s osami x a y:

Všechny možné poloměry vypočítámě pomocí vzdálenosti dvou bodů a vybereme ten nejmenší.

Nejmenším poloměřem je poloměr |SP₂| = 2√2. Rovnice kružnice je:

Úloha číslo 9, 10

Zadání


Řešení

Délka jedné hrany osmistěnu je rovna polovině délky úhlopříčky stěny krychle.
Lomená čára ABCDEF se skládá z pěti hran osmistěnu, tedy:

Zadání

Řešení

Úloha číslo 11

Zadání

Řešení

Úloha číslo 12

Zadání


Řešení

12.1
Řešením je větší část (na obrázku čárkované) kružnice mezi body A, B. Body A, B do řešení nepatří.

12.2
Nejdelší to je přes střed. Bod X₀ bude tedy ležet na koci průměru kružnice (viz obrázek).

12.3
Podle sinové věty platí:

Úloha číslo 13

Zadání

Řešení

13.1

Správná odpověď je A.

13.2

Správná odpověď je E.

13.3

Správná odpověď je B.

Úloha číslo 14

Zadání

Řešení

Úloha číslo 15

Zadání


Řešení

Úloha číslo 16

Zadání

Řešení

Úloha číslo 17

Zadání

Řešení

Úloha číslo 18

Zadání

Řešení

Úloha číslo 19

Zadání




Řešení

Úloha číslo 20

Zadání

Řešení

Úloha číslo 21

Zadání

Řešení

Úloha číslo 22

Zadání

Řešení

Správná odpověď je C.

Úloha číslo 23

Zadání

Řešení

Zadání: © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012

Vytisknout stránku »