Matematika – úvod > Maturita z matematiky > Řešené maturitní testy > Test 2014 — řešení
Nejprve najdeme, jak velkou část zaujímá celá neznámá část prostředního obdélníku. Poté výpočet vydělíme dvěma (vynásobíme jednou polovinou) a dostaneme obsah vyšrafované části vyjádřený zlomkem. Jednička značí celý prostřední obdélník (jeden celek). Neznámou část jsem označil čtverečkem. Hledaná část je pak polovina čtverečku.
Máme řešit v oboru přirozených čísel (kladná celá čísla), proto se podmínkami nemusíme zabývat, protože pro přirozená čísla bude výraz vždy dávat smysl.
Obor hodnot funkce sinus leží v intervalu <-1;1> My potřebujeme zjistit, pro které hodnoty x nabývá funkce sinus hodnoty -1 na zadaném intervalu.
Z obrázku je vidět, že to je pro x = 270 °. Kalkulačka nám však ukáže číslo -90 °. To ale neleží v zadaném intervalu.
Jde o kvadratickou funkci (obsahuje kvadratický člen), jejíž předpis je y = ax2 + bx + c. Grafem je parabola.
y = (x - 2)(x + 2) = -x2 + 4
Pokud a < 0 (v našem případě a = -1), parabola je konkávní, tzn. nakreslená jako kopeček (konvexní je pak dolíček). Ze zadaného předpisu je hned vidět, že parabola bude protínat osu x v bodech -2 a 2. To jsme zjistili tak, že jsme dosadili za y nulu a vypočítali možné hodnoty x. Průsečíky s osou x totiž mají nulovou ypsilonovou souřadnici.
Z průsečíků s osou x lze poznat, že parabola je souměrná podle osy y. Najdeme-li průsečík s osou y, dostaneme také souřadnice vrcholu. Dosadíme tedy za x nulu. Dostaneme y = 4. Souřadnice vrcholu tedy jsou P = (0; 4)
8.1
8.2
P = (0; 4)
8.3
Z obrázku je vidět, že hodnota funkce je kladná (graf nad osou x) na intervalu x ∈ (-2; 2).
9.1
9.2
Obsah tmavých částí je roven obsahu kruhu o průměru délky hrany čtverce uprostřed.
Použijeme vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku — strana krát výška na tu stranu děleno dvěma. Jelikož obsah známe, vyjádříme si stranu kterou hledáme (PM). Výškou na tu stranu je úsečka KL, kterou máme také zadanou.
Bod B získáme tak, že od bodu A půjdeme 4 dílky doleva (-4) a dva nahoru (2). Analogicky pak bod C.
Vzdálenost bodu A od přímky BC je 4 dílky.
Podle zadání máme vypočítat kolik procent je 6 miliontin metru z 15 desetitisícin metru.
Uvedl jsem dva způsoby řešení.
Petr pracoval 4,5 hodiny, než ho vystřídal Martin.
Objem je polovina objemu válce. Dosazujeme v decimetrech, dostaneme objem v litrech (decimetrech krychlových). Ve výpočtech je výška poloválce označena v a průměr d.
Plocha návleku je polovina plochy válce bez podstav plus plocha rovné (vnitřní) stěny půlválce.
Vždy vybíráme počet příznivých jevů z šesti možných.
Podle zadání sestavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a tu vyřešíme. Písmenem x označíme počet výrobků „první“ kvality a písmenem y počet výrobků „druhé“ kvality.
Správná odpověd je D.
