Matematika – úvod > Maturita z matematiky > Řešené maturitní testy > Ilustrační test 2014 — řešení
Číslo, které máme zobrazit jsou 2/3 (1/3 ∙ 2). Zřejmě bude na nějaké z čárek, protože pokud by bylo někde mezi, bylo by velmi těžké (téměř nemožné) takový výsledek kontrolovat a hodnotit.
Pokud bychom neviděli, že se jedná o 2/3, můžeme se podívat na návod, jak převést periodické číslo na zlomek.
V intervalu mezi 1/2 a 1 je 9 dílků. Jeden dílek tedy je 1/2 : 9 = 1/18.
Zjišťujeme tedy kolik dílků (kolik osmnáctin) musíme přičíst k 1/2, abychom získali 2/3.
2/3 - 1/2 = 1/6 = 3/18 (3 dílky). Hledaná hodnota tak leží 3 dílky vpravo od 1/2.
Jeden dílek je 1/10 (2 obdélníky po 5 dílcích). Celých vyšrafovaný dílek je 1,
a k tomu ještě přičteme polovinu obsahu obdélníku o stranách 4 a 1:
(4 ∙ 1) : 2 = 2. Vyšrafovaná oblast tedy zaujíma 3 díly z 10, 3/10.
Umocněno podle vzorce (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Použijeme vzorec pro součet n členů artimetické posloupnosti.
8.1 Platí:
8.2 Součin x a y má být vždy 10, doplníme tedy tabulku a body pak vyneseme do grafu.
Můžeme přidat i další body — tak aby součet jejich souřadnic byl vždy 10.
8.3 Jde o lineární lomenou funkci. Jednou z asymptot tohoto grafu je souřadnicová osa x, graf ji tedy neprotne.
Výraz, kterým jsme rozšířili zjistíme tak, že vydělíme jmenovatel rozšířeného výrazu jmenovatelem výrazu původního. Potom jím vynásobíme 4, a máme výsledek.
Z definice logaritmu
Dosadíme „ypsilonovou“ souřadnici…
Použijeme kosinovu větu.
V našem případě γ = 120 °; |BP| = c; |BO| = a = 1; |OP| = b = 1
14.1
Pokud má být pravý úhel při vrcholu B, musí body A* ležet na přímce kolmé k úsečce BC (v dané polorovině).
14.2
Pravý úhel při vrcholu D* bude v případě, že body D* leží na Thaletově kružnici (v dané polorovině se jedná o půlkružnici).
15.1
Kocouři naplní každou hodinou sýpku o 1/5, kočky o 1/2 a myšky ji každou hodinou vyprázdní o 1/10. Kočky a myšky začaly pracovat o hodinu později než kocouři (nepracují celou dobu), proto je v rovnici mínus 1.
15.2
Dosadíme do výrazu pro práci myšek…
16.1 Přirozené číslo je celé kladné číslo. -2 není kladné číslo. Odpověď je NE.
16.2 Přirozené číslo je celé kladné číslo. 9/3 = 3. Trojka je celé kladné číslo. Odpověď je ANO.
16.3 Racionální číslo lze vyjádřit jako zlomek – čitatel i jmenovatel jsou celá čísla.
7/9 je zlomek, odpověď je tedy ANO.
16.4 √2 nelze napsat pomocí zlomku, jedná se o jedno z nejznámnějších iracionálních čísel.
Odpověď tedy je ANO.
Útvary si vhodně rozdělíme. Jsou složeny z obdélníků a z polovin obdélníků…
(4 + 2) cm² + (4 + 4 + 4) cm² + (3 + 6 + 1,5) cm² = 28,5 cm²
Správná odpověď je D.
Povrch střechy vypořítáme jako součet obsahů 4 trojúhelníků.
A obsah trojůhelníku vypočítáme jako podstava trojúhelníku krát výška děleno 2.
Výšku vypočítáme pomocí Pythagorovy věty (viz obrázek)…
Správná odpověď je C.
Správná odpověď je C.
Povrch pláště se rovná obsahu půlkruhu (polovině ovsahu kruhu); viz obrázek…
Správná odpověď je E.
Odchylku přímek vypočítáme graficky jako odchylku jejich směrových vektorů (viz obrázek).
Správná odpověď je A.
Podíváme-li se na přímku AC, vidíme, že je to vlastně přímka y = x, jen o 1 posunutá doprava (hodnota x je zvětšená o 1).
Hodnotu ypsilonové souřadnice tak dostaneme, pokud od hodnoty xové souřadnice odečteme 1.
Tedy y = x - 1, což se dá upravit na x - y - 1 = 0.
Správná odpověď je B.
Pro geometrickou posloupnost platí…
Podle zadání…
Správná odpověď je D.
Správná odpověď je B.
25.1
Výraz bude roven 0, pokud se čitatel bude rovnat 0.
Z podmínky 2 - x ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; řešením tedy je prázdná množina.
Správná odpověď je A.
25.2
Výraz bude menší nebo roven 0, pokud čitatel bude menší nebo roven 0.
Správná odpověď je D.
25.3
Výraz bude větší nebo roven 0, pokud výraz v závorce bude záporný nebo roven 0.
Správná odpověď je E.
25.4
Jelikož 2 - 2 = 0, výraz bude vždy roven nule, každé x tak splňuje zadání; tedy x ∈ R.
Správná odpověď je B.
26.1
Správná odpověď je A.
26.2
Správná odpověď je E.
26.3
Správná odpověď je C.
